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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
證明函數f（x）=x+
4x
在區(qū)間（0，2]上是減函數．
分析：利用函數單調性的定義，先設?x1、x2，且0＜x1＜x2≤2，再利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小，從而證明函數的單調性
解答：解：證明：設?x1、x2，且0＜x1＜x2≤2，
f(x1)-f(x2)=(x1+
4
x1
)-(x2+
4
x2
)=(x1-x2)+
4(x2-x1)
x1x2
=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)，
∵0＜x1≤2，0＜x2≤2，x1＜x2，
∴0＜x1x2＜4，∴
1
x1x2
＞
1
4
，∴
4
x1x2
＞1，
∴1-
4
x1x2
＜0，且x1-x2＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴函數f（x）在（0，2]上為減函數．
點評：本題考查了利用函數單調性定義證明函數單調性的方法，作差法比較大小的變形技巧
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減，函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間
 
上遞增；
（2）函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)，當x=
 
時，y最小=
 
；
（3）函數f(x)=x+
4
x
(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在區(qū)間D上的函數f（x）和g（x），如果對于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么稱函數f（x）在區(qū)間D上可被函數g（x）替代．
（1）若f(x)=
x
2
-
1
x
，g(x)=lnx，試判斷在區(qū)間[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）記f（x）=x，g（x）=lnx，證明f（x）在(
1
m
，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）設f(x)=alnx-ax，g(x)=-
1
2
x2+x，若f（x）在區(qū)間[1，e]上能被g（x）替代，求實數a的范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設g（x）=2x+
1
x
，x∈[
1
4
，4]．
（1）求g（x）的單調區(qū)間；（簡單說明理由，不必嚴格證明）
（2）證明g（x）的最小值為g（
2
2
）；
（3）設已知函數f（x）（x∈[a，b]），定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，則f1（x）=-1，x∈[-
π
2
，
π
2
]，f2（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，設φ（x）=
g(x)+g(2x)
2
+
|g(x)-g(2x)|
2
，不等式p≤φ1（x）-φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

觀察下列表格，探究函數f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的性質，
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．
當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
（2）證明：函數f(x)=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）遞減．
（3）函數f(x)=x+
4
x
(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省惠州一中高二（上）期中數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設函數f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數列{an}滿足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數M，當n＞M時，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式對不小于2的正整數恒成立，求x的取值范圍．

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