Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：(a＞b＞0)的離心率為，且橢圓E的短軸的端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）己知A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，過x軸上一點(diǎn)P（異于原點(diǎn)）作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓E相交于C，D兩點(diǎn)，且直線AC與BD相交于點(diǎn)Q．①若k＝1，求線段CD中點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；②判斷是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②為定值，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)離心率和短軸的端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離列方程組，解方程組求得的值，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式列不等式求得的取值范圍.利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)的取值范圍，求得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

②將兩點(diǎn)的坐標(biāo)并代入橢圓方程進(jìn)行化簡.設(shè)直線的方程為，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理.利用直線和直線的方程進(jìn)行化簡，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此求得

（1）由于橢圓離心率為，且橢圓E的短軸的端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得.所以.由，解得.故中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，即的中點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，與重合，不滿足條件.所以線段中點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是.

②為定值，理由如下：因?yàn)?/span>分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，所以，所以.

設(shè)直線的方程為，則.由得，所以，，也是要，又直線與直線的方程分別為與，兩方程相除得，解得，所以為定值.