Question

11．已知函數f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+2y=0平行，若f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，則實數t的取值范圍為（　　）

• A． （-2，-$\frac{3}{2}$）
• B． [-2，-$\frac{3}{2}$]
• C． （-2，-1）
• D． [-2，-1]

Answer 1

分析 先對函數f（x）進行求導，又根據f'（-1）=-3，f（-1）=2可得到關于m，n的值，代入函數f（x）可得f'（x），當f'（x）＜0時x的取值區(qū)間為減區(qū)間，從而解決問題．

解答 解：由已知條件得f'（x）=3mx²+2nx，
由f'（-1）=-3，∴3m-2n=-3．
又f（-1）=2，∴-m+n=2，
∴m=1，n=3
∴f（x）=x³+3x²，∴f'（x）=3x²+6x．
令f'（x）＜0，即x²+2x＜0，
函數f（x）的單調減區(qū)間是（-2，0）．
∵f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，
則實數t的取值范圍是[-2，-1]
故選D．

點評 本題主要考查通過求函數的導數來求函數增減區(qū)間的問題、利用導數研究曲線上某點切線方程．屬于中檔題．