Question

11．已知函數(shù)f（x）=3sin2x-2$\sqrt{3}{cos^2}$x，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的序號(hào)是③．
 ①函數(shù)f（x）的最小正周期為π
 ②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱
 ③函數(shù)f（x）的圖象可由g（x）=2sin2x-1的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到
 ④函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0_{\;}}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由函數(shù)f（x）=3sin2x-2$\sqrt{3}{cos^2}$x=3sin2x-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$
=3sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）-$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$，
可得它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，故①正確；
令x=$\frac{π}{3}$，求得f（x）=$\sqrt{3}$，為函數(shù)的最大值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，故②正確；
把g（x）=2sin2x-1的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的圖象，故③錯(cuò)誤；
在區(qū)間$[{0_{\;}}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，故函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0_{\;}}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上是增函數(shù)，故④正確，
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．