Question

設(shè)命題：實數(shù)滿足，其中；命題：實數(shù)滿足；

（1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若是成立的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1） （2）

【解析】

試題分析：（1）若a=1，求出命題p，q的等價條件，利用p∧q為真，則p，q為真，即可求實數(shù)x的取值范圍；

（2）求出命題p的等價條件，利用p是q的必要不充分條件，即可求實數(shù)a的取值范圍．

試題解析：解 （1）由得 1分

又，所以， 2分

當時，，即為真命題時，實數(shù)的取值范圍是 3分

由得．

所以為真時實數(shù)的取值范圍是． 5分

若為真，則，所以實數(shù)的取值范圍是． 6分

（2） 設(shè)， 8分

是的充分不必要條件，則 10分

所以，所以實數(shù)a的取值范圍是． 12分

考點：復(fù)合命題的真假，必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

考點分析： 考點1：簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 考點2：必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【知識點的認識】正確理解和判斷充分條件、必要條件、充要條件和非充分非必要以及原命題、逆命題否命題、逆否命題的概念是本節(jié)的重點；掌握邏輯推理能力和語言互譯能力，對充要條件概念本質(zhì)的把握是本節(jié)的難點．
1．充分條件：對于命題“若p則q”為真時，即如果p成立，那么q一定成立，記作“p?q”，稱p為q的充分條件．意義是說條件p充分保證了結(jié)論q的成立，換句話說要使結(jié)論q成立，具備條件p就夠了當然q成立還有其他充分條件．如p：x≥6，q：x＞2，p是q成立的充分條件，而r：x＞3，也是q成立的充分條件．
必要條件：如果q成立，那么p成立，即“q?p”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p則非q”，記作“￢p?￢q”，這是就說條件p是q的必要條件，意思是說條件p是q成立的必須具備的條件．
充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．
2．從集合角度看概念：
如果條件p和結(jié)論q的結(jié)果分別可用集合P、Q 表示，那么
①“p?q”，相當于“P?Q”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足夠了--有它就行．
②“q?p”，相當于“P?Q”，即：為使x∈Q成立，必須要使x∈P--缺它不行．
③“p?q”，相當于“P=Q”，即：互為充要的兩個條件刻畫的是同一事物．
3．當命題“若p則q”為真時，可表示為，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．這里由，得出p為q的充分條件是容易理解的．但為什么說q是p的必要條件呢？事實上，與“”等價的逆否命題是“”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．
4．“充要條件”的含義，實際上與初中所學的“等價于”的含義完全相同．也就是說，如果命題p等價于命題q，那么我們說命題p成立的充要條件是命題q成立；同時有命題q成立的充要條件是命題p成立．
【解題方法點撥】
1．借助于集合知識加以判斷，若P?Q，則P是Q的充分條件，Q是的P的必要條件；若P=Q，則P與Q互為充要條件．
2．等價法：“P?Q”?“￢Q?￢P”，即原命題和逆否命題是等價的；原命題的逆命題和原命題的否命題是等價的．
3．對于充要條件的證明，一般有兩種方法：其一，是用分類思想從充分性、必要性兩種情況分別加以證明；其二，是逐步找出其成立的充要條件用“?”連接．
【命題方向】
充要條件主要是研究命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，它是中學數(shù)學最重要的數(shù)學概念之一，它是今后的高中乃至大學數(shù)學推理學習的基礎(chǔ)．在每年的高考中，都會考查此類問題． 試題屬性

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