Question

5．在求函數(shù)y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+a}（a＞0）$的最小值時，某同學的做法如下：由基本不等式得y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+a}={x}^{2}+a+\frac{1}{{x}^{2}+a}-a≥2\sqrt{（{x}^{2}+a）\frac{1}{{x}^{2}+a}}$-a=2-a．
因此函數(shù)y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+a}$的最小值為2-a．
若該同學的解法正確，則a的取值范圍是（0，1]．

Answer 1

分析 由不等式求最值等號成立的條件求得a的取值范圍．

解答 解：∵a＞0，
∴y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+a}={x}^{2}+a+\frac{1}{{x}^{2}+a}-a≥2\sqrt{（{x}^{2}+a）\frac{1}{{x}^{2}+a}}$-a=2-a，
當且僅當${x}^{2}+a=\frac{1}{{x}^{2}+a}$有實數(shù)解時上式等號成立，
則x²+a=1有實數(shù)解，即x²=1-a有實數(shù)解，
∴1-a≥0，即a≤1，
又a＞0，
∴a的取值范圍是（0，1]．
故答案為：（0，1]．

點評 本題考查基本不等式，訓練了利用基本不等式求最值得方法，關鍵是明確利用基本不等式求最值的條件，是中檔題．