Question

3．已知正項數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-6a_n²=a_n+1a_n，若a₁=2，則數(shù)列{a_n}的前n項和為3ⁿ-1．

Answer 1

分析 正項數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-6a_n²=a_n+1a_n，因式分解為（a_n+1-3a_n）（a_n+1+2a_n）=0，可得a_n+1=3a_n，利用等比數(shù)列的定義及其前n項和公式即可得出．

解答 解：∵正項數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-6a_n²=a_n+1a_n，
∴（a_n+1-3a_n）（a_n+1+2a_n）=0，
∴a_n+1=3a_n，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為3．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{2（{3}^{n}-1）}{3-1}$=3ⁿ-1．
故答案為：3ⁿ-1．

點評 本題考查了遞推式的應用、等比數(shù)列的定義及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．