Question

12．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{2x+1}{x-3}$；                
（2）y=x²-4x+6，x∈[1，5）；
（3）y=$\frac{5{x}^{2}+8x+5}{{x}^{2}+1}$；              
（4）y=2x-$\sqrt{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）分離常數(shù)，得到y(tǒng)=$2+\frac{7}{x-3}$，根據(jù)$\frac{7}{x-3}≠0$便可得出該函數(shù)的值域；
（2）配方y(tǒng)=（x-2）²+2，可設(shè)y=f（x），顯然f（2）是最小值，f（5）＞f（1），這樣便可得出原函數(shù)的值域；
（3）可以想著分子、分母同除以x，這樣便要討論x是否為0：x=0時(shí)，求出y=5，x≠0時(shí)，原函數(shù)可變成$y=5+\frac{8}{x+\frac{1}{x}}$，這樣根據(jù)基本不等式可求出$x+\frac{1}{x}$的范圍，從而求出$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$的范圍，這樣即可得出原函數(shù)的值域；
（4）原函數(shù)可變成y=$2（\sqrt{x-1}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}$，而$\sqrt{x-1}≥0$，這樣便能得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2（x-3）+7}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}$；
$\frac{7}{x-3}≠0$；
∴y≠2；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠2}；
（2）y=x²-4x+6=（x-2）²+2≥2；
設(shè)y=f（x），則f（5）＞f（1），f（5）=11；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇2，11）；
（3）①x=0時(shí)，y=5；
②x≠0時(shí)，$y=\frac{5{x}^{2}+8x+5}{{x}^{2}+1}=\frac{5（x+\frac{1}{x}）+8}{x+\frac{1}{x}}=5+\frac{8}{x+\frac{1}{x}}$；
1）若x＞0，$x+\frac{1}{x}≥2$；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$；
∴5＜y≤9；
2）若x＜0，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}＜0$；
∴1≤y＜5；
∴綜上得原函數(shù)的值域?yàn)閇1，9]；
（4）$y=2x-\sqrt{x-1}=2（x-1）-\sqrt{x-1}+2$=$2（\sqrt{x-1}）^{2}-\sqrt{x-1}+2$=$2（\sqrt{x-1}-\frac{1}{4}）+\frac{15}{8}$；
$\sqrt{x-1}≥0$；
∴$y≥\frac{15}{8}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)?[\frac{15}{8}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)法求函數(shù)的值域，配方法求二次函數(shù)的值域，以及基本不等式的運(yùn)用，注意基本不等式使用的條件．