Question

已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²（x﹣a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

解：（I）f'（x）=3x²﹣2ax．因為f'（1）=3﹣2a=3，所以a=0．
又當(dāng)a=0時，f（1）=1，f'（1）=3，
則切點坐標(biāo)（1，1），斜率為3
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=3（x﹣1）
化簡得3x﹣y﹣2=0．
（II）令f'（x）=0，解得．
當(dāng)，即a≤0時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f_max=f（2）=8﹣4a．
當(dāng)時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f_max=f（0）=0．
當(dāng)，即0＜a＜3，f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而
綜上所述，