Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上的最大值和最小值及其相應(yīng)的自變量x的值；
（2）在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)倍角公式及和差角公式，化簡函數(shù)的解析式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的最值性，可求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．
（2）利用列表法，結(jié)合五點作圖法進行取值作圖．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（$2x-\frac{π}{6}$）-1
∵-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{3}$≤$2x-\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，f（x）的最大值為1-1=0，
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$時，f（x）的最小值為$-\frac{\sqrt{3}}{2}$-1．
（2）

2x-$\frac{π}{6}$	$-\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	-$\frac{3}{2}$	-1	0	-10	-2	-$\frac{3}{2}$

對應(yīng)的圖象為

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握相應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)以及五點法作圖．