Question

15．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2cossinx-sin⁴x+1
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)二倍角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得到f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1，然后確定其周期和最大值即可；
（2）直接結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos⁴x-2cossinx-sin⁴x+1
=（cos²x+sin²x（cos²x-sin²x）-2sinxcosx+1
=cos²x-sin²x-sin2x+1
=cos2x-sin2x+1
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1
∴f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1
∴周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
最大值為：1+$\sqrt{2}$．
（2）令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5π}{8}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{8}$+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-$\frac{5π}{8}$+kπ，-$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了二倍角公式、輔助角公式、三居函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．