Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F₁(－1，0)，P為橢圓G的上頂點(diǎn)，且∠PF₁O＝45°．

(Ⅰ)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)已知直線l₁：y＝kx＋m₁與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，直線l₂：y＝kx＋m₂(m₁≠m₂)與橢圓G交于C，D兩點(diǎn)，且|AB|＝|CD|，如圖所示．

(ⅰ)證明：m₁＋m₂＝0；

(ⅱ)求四邊形ABCD的面積S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0179/0019/f30ae037bc39133beca4dbffa38e8b0e/C/Image110.gif" width=58 height=24>，， 　　所以． 　　所以，2分 　　所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，3分 　　(Ⅱ)設(shè)，，，． 　　(ⅰ)證明：由消去得：． 　　則， 　　；5分 　　所以 　　 　　 　　． 　　同理．7分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0179/0019/f30ae037bc39133beca4dbffa38e8b0e/C/Image129.gif" width=78 height=21>， 　　所以． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0179/0019/f30ae037bc39133beca4dbffa38e8b0e/C/Image131.gif" width=52 height=24>， 　　所以，9分 　　(ⅱ)解：由題意得四邊形是平行四邊形，設(shè)兩平行線間的距離為，則． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0179/0019/f30ae037bc39133beca4dbffa38e8b0e/C/Image132.gif" width=76 height=24>， 　　所以．10分 　　所以 　　． 　　(或) 　　所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值為．13分