Question

設a∈R，函數f（x）=lnx-ax，g（x）=

1

3

x³+x+1．
（1）若曲線y=g（x）的切線l過點A（0，

1

3

），求切線l的方程；
（2）討論函數h（x）=2f（x）+g（x）-

1

3

x³的單調性；
（3）若x₁，x₂是函數f（x）的兩個相異零點，求證：g（x₁x₂）＞g（e²）．（e為自然對數底數）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數零點的判定定理,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）設切點為（m，

1

3

m³+m+1），切線方程為y-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（x-m），代入點A得方程；（2）求導，由導數確定單調性；（3）構造函數μ（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（1，+∞），并判斷其單調性，由此得到g（x₁x₂）＞g（e²）．

解答： 解：（1）設切點為（m，

1

3

m³+m+1），又∵g′（x）=x²+1．
∴切線的斜率=m²+1，
即切線方程為y-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（x-m），
∴

1

3

-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（0-m），
解得，m=1，
則切線方程為2x-y+

1

3

=0．
（2）h（x）=2f（x）+g（x）-

1

3

x³=2lnx-2ax+x+1，x∈（0，+∞）
h′（x）=

(1-2a)x+2

x

，
①當a≤

1

2

時，h′（x）＞0，即h（x）在（0，+∞）上是增函數；
②當a＞

1

2

時，由h′（x）＞0解得0＜x＜

2

2a-1

；
∴h（x）在（0，

2

2a-1

）上是增函數，在（

2

2a-1

，+∞）上是減函數．
（3）證明：∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個相異零點，不妨設x₁＞x₂＞0，
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0；
∴a=

lnx1-lnx2

x1-x2

．
故（x₁-x₂）（a-

2

x1+x2

）=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
設

x1

x2

=t（t＞1），則μ（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（1，+∞），
μ′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴μ（t）在（1，+∞）是增函數，故μ（t）＞0，
又∵x₁-x₂＞0，∴a-

2

x1+x2

＞0，
∴l(xiāng)nx₁，+lnx₂=ax₂+ax₁＞0；
從而x₁•x₂＞e²．
又g（x）=

1

3

x³+x+1在R上是增函數，則g（x₁x₂）＞g（e²）．

點評：本題考查了導數的綜合應用，化簡比較困難，屬于難題．