Question

13．已知雙曲線E$：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，其一漸近線被圓C：（x-1）²+（y-3）²=9所截得的弦長等于4，則E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，雙曲線的一條漸近線方程，運用直線和圓相交的弦長公式，可得圓心到漸近線的距離為1，再由點到直線的距離公式和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由圓C：（x-1）²+（y-3）²=9可得圓心（1，3），半徑為3，
雙曲線E$：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，的一條漸近線方程為bx-ay=0，
漸近線被圓C：（x-1）²+（y-3）²=9所截得的弦長等于4，圓心到直線的距離為：$\frac{|b±3a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
由弦長公式可得2=$\sqrt{9-（\frac{|b±3a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}）^{2}}$，可得$\frac{（b±3a）^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=5$，解得$\frac{a}=2或\frac{a}=\frac{1}{2}$，
即c=$\sqrt{5}$a或c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$或e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓相交的弦長公式，以及點到值的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．