Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin²（x+$\frac{π}{4}$）-cos²x-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）最小值和最小正周期；
（2）若A為銳角，且向量$\overrightarrow{m}$=（1，5）與向量$\overrightarrow{n}$=（1，f（$\frac{π}{4}$-A））垂直，求cos2A．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角的余弦公式變形、兩角差的正弦公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的周期、最值求出結果；
（2）根據(jù)向量垂直的條件列出方程，代入f（x）由誘導公式化簡求出$cos（2A+\frac{π}{6}）$，由三角函數(shù)值的符號、角A的范圍求出$2A+\frac{π}{6}$的范圍，由平方關系求出$sin（2A+\frac{π}{6}）$的值，利用兩角差的余弦函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值求出cos2A的值．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}[1-cos（2x+\frac{π}{2}）]$-$\frac{1}{2}（1+cos2x）$-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$$-\frac{1}{2}$cos2x-1=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
∴函數(shù)f（x）最小值是-2，最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，5）與向量$\overrightarrow{n}$=（1，f（$\frac{π}{4}$-A））垂直，
∴1+5f（$\frac{π}{4}$-A）=0，則1+5[$sin（\frac{π}{2}-2A-\frac{π}{6}）-1$]=0，
∴$cos（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{4}{5}$＞0，
∵A為銳角，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，則$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{1-co{s}^{2}（2A+\frac{π}{6}）}$=$\frac{3}{5}$，
則cos2A=cos[（$2A+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$cos（2A+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$$sin（2A+\frac{π}{6}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$．

點評 本題考查二倍角的余弦公式變形，兩角差的正弦、余弦公式，向量垂直的條件，以及正弦函數(shù)的性質等，注意角的范圍，屬于中檔題．