Question

（2007•揭陽二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足S_n=

1

2

(1-an)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：S_n＜

1

2

；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=log

1

3

x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求

n

i=1

1

bi

．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，利用等比數(shù)列的通項公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出S_n的表達式，即可證明結(jié)論；
（III）求出b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），利用裂項法求和即可．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)n≥2時，an=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，
∴2a_n=-a_n+a_n-1
∴

an

an-1

=

1

3

，----------------------------------（4分）
由S1=a1=

1

2

(1-a1)得a1=

1

3

∴數(shù)列{a_n}是首項a1=

1

3

、公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴an=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n------（6分）
（Ⅱ）證明：由Sn=

1

2

(1-an)得Sn=

1

2

[1-(

1

3

)n]---------------------------------（8分）
∵1-(

1

3

)n＜1，∴

1

2

[1-(

1

3

)n]＜

1

2

∴Sn＜

1

2

---------------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）解：∵f(x)=log

1

3

x，
∴bn=log

1

3

a1+log

1

3

a2+…+log

1

3

an=log

1

3

(a1a2…an)
=log

1

3

(

1

3

)1+2+…+n=1+2+…+n=

n(1+n)

2

-------------------（12分）
∴

1

bn

=

2

n(1+n)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴

n

i=1

1

bi

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

--------（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項，正確運用裂項法是關(guān)鍵．