Question

（2012•宿州三模）已知四棱錐P-ABCD的直觀圖及三視圖如圖所示．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）若E是側棱PC的中點，求證：PA∥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角D-AP-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PC⊥面ABCD，且PC=2，由錐體體積公式可求體積；
（Ⅱ）連接AC，交BD于點F，則F為AC中點，連接EF，利用EF∥PA，證明PA∥平面BDE；
（Ⅲ）以C為坐標原點，以CD、CB、CP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出面PAD的法向量

n1

=(2，0，1)，面PAB的法向量

n2

=(0，2，1)，利用向量的夾角公式可得結論．

解答：解：由三視圖可知，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PC⊥面ABCD，且PC=2…（2分）
（Ⅰ）由錐體體積公式得VP-ABCD=

1

3

SABCD×PC=

1

3

×1×2=

2

3

…（4分）
（Ⅱ）連接AC，交BD于點F，則F為AC中點，連接EF，
則EF為三角形PAC中位線，所以EF∥PA，
又PA?平面BDE，EF?平面BDE，∴PA∥平面BDE…（6分）
（Ⅲ）以C為坐標原點，以CD、CB、CP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，1，0），A（1，1，0），
∴

AD

=(0，-1，0)，

PD

=(1，0，-2)，

AB

=(-1，0，0)，

PB

=(0，1，-2)…（8分）
設面PAD的法向量

n1

=(x，y，z)
由

AD • n1 =0 PD • n2 =0

，可得

-y=0 x-2z=0

，取

n1

=(2，0，1)
同理得面PAB的法向量

n2

=(0，2，1)…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

5

∵二面角D-AP-B為鈍二面角
∴二面角的余弦值為-

1

5

…（12分）

點評：本題考查三視圖還原出立體圖形，考查線面偶像，考查面面角，考查利用空間向量的方法求解面面角，綜合性強．