Question

設(shè)=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），f（x）=•，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[-，]，求x的值．
（2）若函數(shù)g（x）=cos（ωx-）+k（ω＞0，k∈R）與f（x）的最小正周期相同，且g（x）的圖象過點(diǎn)（，2），求函數(shù)g（x）的值域及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合三角恒等變換化簡得f（x）=2sin（2x+）+1．由此解f（x）=0得出sin（2x+）=-，再由x的范圍即可算出x=-；
（2）g（x）與f（x）的最小正周期相同，可得ω=2．再由（，2）在g（x）圖象上，代入表達(dá)式解出k=1，得到g（x）=cos（2x-）+1，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出g（x）的值域及單調(diào)遞增區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=•=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1                      …（3分）
由f（x）=0，得2sin（2x+）+1=0，可得sin（2x+）=-，…（4分）
又∵x∈[-，]，∴-≤2x+≤                       …（5分）
∴2x+=-，可得x=-                                 …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x+）+1，
因?yàn)間（x）與f（x）的最小正周期相同，所以ω=2，…（7分）
又∵g（x）的圖象過點(diǎn)（，2），∴cos（2×-）+k=2，
由此可得1+k=2，解得 k=1，…（8分）
∴g（x）=cos（2x-）+1，其值域?yàn)閇0，2]，…（9分）
2kπ-π≤2x-≤2kπ，（k∈Z）…（10分）
∴kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z），…（11分）
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，（k∈Z）．…（12分）
點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求參數(shù)的值并求函數(shù)表達(dá)式、求函數(shù)的值域與單調(diào)區(qū)間．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量數(shù)量積運(yùn)算和函數(shù)的值域等知識，屬于中檔題．