Question

如圖,已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁,D是AC的中點(diǎn),∠C₁DC=60°.

(1)求證:AB₁∥平面BC₁D;

(2)求二面角D-BC₁-C的大小.?

Answer 1

解析：以AC的中點(diǎn)D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如圖,設(shè)|AD|=1,??

?

∵∠C₁DC=60°,?

∴|CC₁|=.?

則A(1,0,0),B(0, ,0),C(-1,0,0),A₁(1,0,),B₁(0,,),C₁(-1,0,).?

(1)連結(jié)B₁C交BC₁于O,則O是B₁C的中點(diǎn),連結(jié)DO,則O(-, ,).?

=(-1,,),=(- ,,).?

則.?

∵AB₁平面BC₁D,?

∴AB₁∥平面BC₁D.?

(2) =(-1,0,), =(1,,-).?

設(shè)平面BC₁D的法向量為n=(x,y,z),

則

即則有y=0.令z=1.?

則n=(,0,1).?

設(shè)平面BCC₁B₁的法向量為m=(x′,y′,z′),?

=(0,0,), =(1,,-),?

?

即

∴z′=0.?

令y=-1,解得m=(,-1,0).?

二面角DBC₁C的余弦值為cos〈n,m〉=.?

∴二面角D-BC₁-C的大小為arccos.