Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}$（a≠0，且a≠1）．
（1）若a＞0，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出相應(yīng)的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a＞0，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出相應(yīng)的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．根據(jù)（1）的結(jié)論即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a＞0，則由3-ax≥0，即ax≤3，則x≤$\frac{3}{a}$，
此時(shí)y=3-ax為減函數(shù)，
若a＞1，則a-1＞0，則$\frac{1}{a-1}$＞0，則此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，$\frac{3}{a}$]，
若0＜a＜1，則a-1＜0，則$\frac{1}{a-1}$＜0，則此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，$\frac{3}{a}$]，
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．
由（1）知，a＞1，且$\frac{3}{a}$≥1，即1＜a≤3
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．