Question

17．將數(shù)列{a_n}按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)三角形表，并同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：
①各行的第一個(gè)數(shù)a₁，a₂，a₅構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列；
②從第二行起，每行各數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列．
若a₁=1，a₃=4，a₅=3，則d=1；第n行的和T_n=n•2^2n-1-n．

Answer 1

分析 依題意，可求得d=1，又a₃=a₂q=（a₁+d）q，可求得q=2；記第n行第1個(gè)數(shù)為A，易求A=n；據(jù)此數(shù)表的排列規(guī)律可知：每行的總個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，而第n行共有（2n-1）個(gè)數(shù)，第n行各數(shù)為以n為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)列，于是可求得第n行各數(shù)的和T_n．

解答 解：依題意得a₅=a₁+2d，∴3=1+2d，
∴d=1．
又∵a₃=a₂q=（a₁+d）q，q=2，
∴d，q的值分別為1，2；
記第n行第1個(gè)數(shù)為A，則A=a₁+（n-1）d=n，
又根據(jù)此數(shù)表的排列規(guī)律可知：每行的總個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴第n行共有（2n-1）個(gè)數(shù)，
∴第n行各數(shù)為以n為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)列，
因此其總數(shù)的和T_n=$\frac{n（1-{2}^{2n-1}）}{1-2}$=n•2^2n-1-n．
故答案為：1，n•2^2n-1-n；

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，突出考查歸納推理，考查方程思想與運(yùn)算推理能力，判斷出每行的總個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列是關(guān)鍵．