Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P是第一象限內(nèi)曲線y=-x³+1上的一個動點，點P處的切線與兩個坐標(biāo)軸交于A，B兩點，則△AOB的面積的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意設(shè)出點P的坐標(biāo)，求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把點P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率，根據(jù)切點和斜率表示出切線的方程，分別令x=0和y=0求出切線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，由交點坐標(biāo)表示出△AOB的面積S，利用基本不等式即可求出面積的最小值時P橫坐標(biāo)的值，把此時P橫坐標(biāo)的值代入S中即可求出S的最小值．
解答：解：根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為（t，-t³+1），且0＜t＜1，
求導(dǎo)得：y′=-3x²，故切線的斜率k=y′_|x=t=-3t²，
所以切線方程為：y-（-t³+1）=-3t²（x-t），
令x=0，解得：y=2t³+1；令y=0，解得：x=，
所以△AOB的面積S=（2t³+1）•=，
設(shè)y=2t²+=2t²++≥3，
當(dāng)且僅當(dāng)2t²=，即t³=，即t=取等號，
把t=代入得：S_min=．
故答案為：
點評：解本題的思路是設(shè)出切點P的坐標(biāo)，求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出切線的斜率，由切點坐標(biāo)和斜率寫出切線方程，求出切線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，進(jìn)而表示出三角形ABC的面積S，變形后利用基本不等式即可求出S最小時P橫坐標(biāo)的值，把此時P的橫坐標(biāo)代入S即可求出S的最小值．要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則以及會利用基本不等式求函數(shù)的最小值．