Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S₁₀=55．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，$\frac{{2}^{_{n+1}}}{{2}^{_{n}}}$=2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}+n-1}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用55=$\frac{10（1+{a}_{10}）}{2}$計(jì)算可知a₁₀=10，進(jìn)而可知公差d=1，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_n=n，通過$\frac{{2}^{_{n+1}}}{{2}^{_{n}}}$=2${\;}^{{a}_{n}}$可知b_n+1-b_n=a_n=n，累加計(jì)算可知b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，裂項(xiàng)可知$\frac{1}{_{n}+n-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=1，S₁₀=55，
∴55=$\frac{10（1+{a}_{10}）}{2}$，即a₁₀=10，
∴公差d=$\frac{{a}_{10}-{a}_{1}}{10-1}$=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）由（1）可知a_n=n，
∵$\frac{{2}^{_{n+1}}}{{2}^{_{n}}}$=2${\;}^{{a}_{n}}$，
∴b_n+1-b_n=a_n=n，
∴b_n-b_n-1=n-1，b_n-1-b_n-2=n-2，…，b₂-b₁=1，
累加得：b_n-b₁=$\frac{n（n-1）}{2}$，
又∵b₁=1，
∴b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
∴$\frac{1}{_{n}+n-1}$=$\frac{1}{\frac{n（n-1）}{2}+1+n-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}+n-1}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，利用累加法、裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．