Question

19．如圖，四凌錐P-ABCD而底面ABCD是矩形，側面PAD是等腰直角三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PA⊥PC；
（Ⅱ）在AD=2，AB=4，求三棱錐P-ABD的體積；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面垂直的判定，證明PA⊥平面PCD，可得PA⊥PC；
（Ⅱ）過點P作PF⊥AD于F，利用體積公式，即可求三棱錐P-ABD的體積；
（Ⅲ）確定O為球心，球的半徑OD，即可求四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵∠APD=90°，
∴PA⊥PD，
∵PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，
∴PA⊥PC；
（Ⅱ）解：過點P作PF⊥AD于F，則PF⊥平面ABD，PF=1，
∴V_P-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×1$=$\frac{4}{3}$；
（Ⅲ）解：由題意，設球心到平面ABCD的距離為h，R=$\sqrt{4+（1-h）^{2}}$=$\sqrt{5+{h}^{2}}$，h=0
∴球的半徑OD=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為20π．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查三棱錐體積的計算，考查外接球的表面積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．