Question

函數f（x）=log_a（1-ax）在（0，2）上單調遞增，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先將函數f（x）=log_a（1-ax）轉化為y=log_at，t=1-ax兩個基本函數，再利用復合函數的單調性和對數函數真數大于0，列出不等關系式，求解即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=log_a（1-ax），
∴令y=log_at，t=1-ax，
∵a＞0，
∴t=1-ax在（1，3）上單調遞減，
∵f（x）=log_a（1-ax）（a＞0且a≠1）在區(qū)間（1，3）內單調遞增，
∴函數y=log_at是減函數，且1-ax＞0在（1，3）上恒成立，
則有

0＜a＜1 1-3a≥0

，
解得0＜a≤

1

3

，
∴實數a的取值范圍是0＜a≤

1

3

．
故答案為：0＜a≤

1

3

．

點評：本題考查了對數函數的性質，主要考查了復合函數的單調性，關鍵是分解為兩個基本函數，利用同增異減的結論研究其單調性，再求參數的范圍．本題容易忽視t=1-ax＞0恒成立的情況而導致出錯．屬于中檔題．