Question

17．已知數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），則a₂=1；S_n=S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3-\frac{1}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由 2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，得到a₂=1，由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相減，數列{a_n}從第二項開始，是以為1首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，
再求出前n項和公式．

解答 解：由 2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，
又a₁=1，
∴a₂=1，
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相減，
可得2a_n+1-a_n=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$
又a₂=1，
∴數列{a_n}從第二項開始，是以為1首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$
∴S_n=a₁+$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1+2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，n≥2，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3-\frac{1}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：1，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3-\frac{1}{{2}^{n-2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了遞推式的應用、等比數列的通項公式，等比數列的前n項和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題題．