Question

△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知f（x）=ccos（C+x）-bcos（B+x）．
（1）若f（A）=a，判斷△ABC的形狀；
（2）若S_△ABC=

2

且A=

π

4

，求a的最小值．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,三角形的形狀判斷,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）把x=A代入已知關系式中，整理后利用正弦定理化簡求出cosB=0，確定出B為直角，即可得出三角形形狀；
（2）利用三角形面積公式列出關系式，把已知面積與sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出關系式，把cosA的值代入并利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答： 解：（1）由題意得：f（A）=ccos（C+A）-bcos（B+A）=-ccosB+bcosC，
由f（A）=a，得到-ccosB+bcosC=a，
利用正弦定理化簡得：-sinCcosB+sinBcosC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，即2sinCcosB=0，
∵B，C為三角形內角，∴B=

π

2

，
則△ABC為直角三角形；
（2）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

，且A=

π

4

，
∴bc=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc≥2bc-

2

bc=8-4

2

，
則a的最小值為

8-4 2

．

點評：此題考查了正弦定理，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．