Question

14．已知函數(shù)f（x）=kx-lnx，k為實數(shù)且為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，求k的值；
（2）若k=1，求f（x）的極值；
（3）若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增的，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得導(dǎo)數(shù)，令x=1，可得切線的斜率，解方程可得k；
（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進而可得極值；
（3）由條件可得當(dāng)x＞1時，f′（x）=k-$\frac{1}{x}$≥0，即k≥$\frac{1}{x}$，求得右邊函數(shù)的值域，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為k-1=2，
解得k=3；
（2）k=1時，f（x）=x-lnx，
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則當(dāng)x=1時，f（x）取得極小值，且為1，無極大值；
（3）函數(shù)f（x）=kx-lnx在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＞1時，f′（x）=k-$\frac{1}{x}$≥0，即k≥$\frac{1}{x}$，
由x＞1，則0＜$\frac{1}{x}$＜1，
∴k≥1，
故k的范圍為[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，同時考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．