Question

已知函數f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在x∈（1，+∞）時恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，f'（1）=1-a=0，由此求出a=1．
（Ⅱ） 根據a≤0，a＞0兩種情況分類討論，利用導數性質能求出函數f（x）的單調區(qū)間．（Ⅲ） f(x)＜x2?x2-

a

x

-lnx＞0，由此利用導數性質能求出實數a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

+lnx（a∈R），
∴函數f（x）的定義域為（0，+∞），
且f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

…（2分）
由題意f′（1）=1-a=0，
解得 a=1…（4分）
（Ⅱ） ①當a≤0時，∵x＞0，∴f′（x）≥0恒成立，
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增．…（6分）
②當a＞0時，∵x＞0，∴令f'（x）＞0，解得x＞a，
令f′（x）＜0，解得x＜a．
∴f（x）在區(qū)間（0，a）上單調遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調遞增．…（8分）
綜上所述：當a≤0時，函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，
當a＞0時，函數f（x）在區(qū)間（0，a）上單調遞減，
在區(qū)間（a，+∞）上單調遞增．…（9分）
（Ⅲ） f(x)＜x2?x2-

a

x

-lnx＞0，
∵x∈（1，+∞），∴a＜x³-xlnx．…（10分）
令h（x）=x³-xlnx，則k（x）=h'（x）=3x²-lnx-1，
k′(x)=6x-

1

x

=

6x2-1

x

，
∵x∈[1，+∞）時，k'（x）＞0，
∴k（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，
∴k（x）＞k（1）=2…（12分）
∴h'（x）＞0，∴h（x）=x³-xlnx在[1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）＞h（1）=1，∴a≤1． …（14分）

點評：本題主要考查函數與導數等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想等．