Question

如圖,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱長均為2,P是側(cè)棱AA₁上任意一點(diǎn).

(1)求證:B₁P不可能與平面ACC₁A₁垂直;

(2)當(dāng)BC₁⊥B₁P時(shí),求線段AP的長;

(3)在(2)的條件下,求二面角CB₁PC₁的大小.

Answer 1

(1)證明:連結(jié)B₁P,假設(shè)B₁P⊥平面ACC₁A₁,

則B₁P⊥A₁C₁.

    由于三棱柱ABC—A₁B₁C₁為正三棱柱,

    ∴AA₁⊥A₁C₁.

    ∴A₁C₁⊥側(cè)面ABB₁A₁.

    ∴A₁C₁⊥A₁B₁，

    即∠B₁A₁C₁=90°.

    這與△A₁B₁C₁是等邊三角形矛盾.

    ∴B₁P不可能與平面ACC₁A₁垂直.

(2)解:取A₁B₁的中點(diǎn)D,連結(jié)C₁D、BD、BC₁,

    則C₁D⊥A₁B₁,

    又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁,

    ∴AA₁⊥C₁D.

    ∴C₁D⊥平面ABB₁A₁.

    ∴BD是BC₁在平面ABB₁A₁上的射影.

    ∵BC₁⊥B₁P.

    ∴BD⊥B₁P.

    ∴∠B₁BD=90°-∠BB₁P=∠A₁B₁P.

    又A₁B₁=B₁B=2,

    ∴△BB₁D≌△B₁A₁P,A₁P=B₁D=1.

    ∴AP=1.

(3)解:連結(jié)B₁C,交BC₁于點(diǎn)O,則BC₁⊥B₁C.

    又BC₁⊥B₁P,

    ∴BC₁⊥平面B₁CP.

    過O在平面CPB₁上作OE⊥B₁P,交B₁P于點(diǎn)E,連結(jié)C₁E,則B₁P⊥C₁E,

    ∴∠OEC₁是二面角C-B₁P-C₁的平面角.

    由于CP=B₁P=,O為B₁C的中點(diǎn),連結(jié)OP,

    ∴PO⊥B₁C,OP·OB₁=OE·B₁P.

    ∴OE=.

    ∴tan∠OEC₁==.

    ∴∠OEC₁=arctan.

    故二面角CB₁PC₁的大小為arctan.