Question

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F(xiàn)分別是BB₁、AA₁、AC的中點(diǎn)，AC=BC，AB=$\sqrt{2}$AC．CD⊥C₁D．
（Ⅰ）求證：CD∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：平面BEF⊥平面A₁C₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接A₁C，可證平面A₁CD∥平面BEF，由面面平行的性質(zhì)可證CD∥平面BEF．
（Ⅱ）依題意可證CD⊥平面A₁C₁D，由面面垂直的判定定理可得平面A₁CD⊥平面A₁C₁D，結(jié)合（Ⅰ）知平面A₁CD∥平面BEF，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）連接A₁C
∵D、E、F分別是BB₁、AA₁、AC的中點(diǎn)
∴A₁D∥BF，A₁C∥EF
∵在平面A₁CD中A₁D∩A₁C=A₁，在平面BEF中BF∩EF=F，
∴平面A₁CD∥平面BEF，而CD?平面A₁CD
∴CD∥平面BEF                              …（6分）
（Ⅱ）依題意有AC⊥BC
∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁
∴A₁C₁⊥CD
∵CD⊥C₁D
∴CD⊥平面A₁C₁D，而CD?平面A₁CD
∴平面A₁CD⊥平面A₁C₁D
由（Ⅰ）知平面A₁CD∥平面BEF
∴平面BEF⊥平面A₁C₁D                      …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直的性質(zhì)與直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．