Question

函數(shù)f(x)=

sinx

5+4cosx

的值域是

[-

1

2

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：先將函數(shù)兩邊平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的函數(shù)，再利用換元法令cosx=t，將函數(shù)f（x）的平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，并設(shè)其為g（t），利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（t）的值域，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的值域

解答：解：令cosx=t，則t∈[-1，1]
∵f²（x）=

sin2x

5+4cosx

=

1-cos 2x

5+4cosx

=

1-t2

5+4t

設(shè)g（t）=

1-t2

5+4t

  t∈[-1，1]
則g′（t）=

-2t(5+4t)-4(1-t2)

(5+4t) 2

=

-2(t+2)(2t+1)

(5+4t) 2

由g′（t）＜0，得-

1

2

＜t≤1，由g′（t）＞0，得-1≤t＜-

1

2

即函數(shù)g（t）在[-1，-

1

2

]上為增函數(shù)，在[-

1

2

，1]上為減函數(shù)
且g（-1）=0，g（-

1

2

）=

1

4

，g（1）=0
∴0≤g（t）≤

1

4

，即0≤f²（x）≤

1

4

，
∴f（x）∈[-

1

2

，

1

2

]
故答案為[-

1

2

，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用換元法求三角函數(shù)最值的方法，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用