Question

已知A、B、C是△ABC的三個內角，且滿足2sinB=sinA+sinC，設B的最大值為B．
（Ⅰ）求B的大�。�
（Ⅱ）當時，求cosA-cosC的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式得到2b=a+c，表示出b，再利用余弦定理表示出cosB，將表示出的b代入，整理后，利用基本不等式可得出cosB的最小值，根據余弦函數在（0，π）上單調遞減，利用特殊角的三角函數值即可求出B的最大值；
（Ⅱ）設所求的式子為x，記作①，由B與B的關系及B的度數，求出B的度數，代入已知的等式sinA+sinC=2sinB中，得到sinA+sinC的關系式，記作②，由①²+②²化簡后，根據B的度數，求出A+C的度數，代入化簡后的式子中，得到關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為所求式子的值．
解答：解：（Ⅰ）由2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理化簡得：2b=a+c，即，
由余弦定理知cosB==（2分）
=≥=，（4分）
∵y=cosx在（0，π）上單調遞減，
則B的最大值為B=；（6分）
（Ⅱ）設cosA-cosC=x，①（8分）
∵B==，
∴sinA+sinC=2sinB=，②
由①²+②²得，2-2cos（A+C）=x²+2．（10分）
又A+C=π-B=，
∴x=±，即cosA-cosC=±．（12分）
點評：此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式，余弦函數的單調性，誘導公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．