Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；

（3）；（4）

Answer 1

⑴奇函數(shù)，⑵既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，⑶奇函數(shù)，⑷奇函數(shù)

解析:

判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)依照定義解決，但都要先考查函數(shù)的定義域。

（1）函數(shù)的定義域x∈（－∞，+∞），對(duì)稱于原點(diǎn).

∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），

∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函數(shù).

（2）先確定函數(shù)的定義域.由≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對(duì)稱于原點(diǎn)，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷.

由得

故f（x）的定義域?yàn)椋郏?，0）∪（0，1］，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有x+2＞0.

從而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x）

故f（x）為奇函數(shù).

（4）∵函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，

∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.

當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.

故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

1函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì), 定義域具有對(duì)稱性 ( 即若奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域?yàn)镈, 則時(shí)) 是一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件

2分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式.

題型2：證明抽象函數(shù)的奇偶性