Question

已知函數(shù)f(x)=log_a(a＞1且b＞0).

(1)求f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性；

(3)判斷f(x)的單調(diào)性，并用定義證明.

Answer 1

思路分析：(1)轉(zhuǎn)化為解不等式；(2)利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性；(3)注意定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟.

解：(1)由解得x＜-b或x＞b.

∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞，-b)∪(b，+∞).

(2)定義域?yàn)?-∞，-b)∪(b，+∞).

∵f(-x)=log_a()=log_a()=log_a()^-1=-log_a()=-f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù).

(3)設(shè)x₁、x₂是區(qū)間(b，+∞)上任意兩個(gè)值，且x₁＜x₂，

則.

∵b＞0， x₂-x₁＞0，x₂-b＞0，x₁-b＞0，

∴.

又a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_ax是增函數(shù)，

∴l(xiāng)og_a＞log_a，即f(x₁)＞f(x₂).

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(b，+∞)上是減函數(shù).

同理，可證f(x)在(-∞，-b)上也是減函數(shù).