如圖，四棱錐
的底面是正方形，
，點
在棱
上.
（1）求證：平面
平面
；
（2）當
，且
時，確定點的位置，即求出
的值.
（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點，求二面角A-EF-D的余弦值.
（1）詳見解析；(2) 
；(3)
.
【解析】
試題分析：（1）證面面垂直，先證明線面垂直.那么證哪條線垂直哪個面？因為ABCD是正方形， 
.又由
平面
可得
，所以可證
平面
，從而使問題得證.
(2)設AC交BD=O.由（1）可得
平面
，所以
即為三棱錐的高.由條件易得
.
因為
，所以可求出底面的面積.又因為PD=2，所以可求出點E到邊PD的距離，從而可確定點E的位置.
(3)在本題中作二面角的平面角較麻煩，故考慮建立空間直角坐標系，然后用空間向量求解.
試題解析：（1）證明：
四邊形ABCD是正方形ABCD，.
平面,
平面，所以.
，所以平面.
因為平面
，所以平面
平面
.
(2) 設
.
, .
在直角三角形ADB中，DB=PD=2，則PB=
中斜邊PB的高h=
即E為PB的中點.
(3) 連接OE，因為E為PB的中點，所以
平面.以O為坐標原點，OC為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系.
則A(1,0,0)， E(0,0,1) ，F(0,-1,
)
， D(0,-1,0).
平面EFD的法向量為
設
為面AEF的法向量。
令y=1,則
所以二面角A-EF-D的余弦值為
考點：1、平面與平面的垂直；2、幾何體的體積；3、二面角.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（09年朝陽區(qū)二模文）（13分）
如圖，四棱錐
的底面是矩形，
底面
，
為
邊的中點，
與平面所成的角為
，且
，
.
(Ⅰ) 求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（09年山東實驗中學診斷三理）（13分）如圖：四棱錐
的底面
是提醒，腰
，
平分
且與
垂直，側面
都垂直于底面，平面
與底面成60°角
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省高三第八次月考文科數學試卷 題型：解答題
如圖，四棱錐
的底面是平行四邊形，
平面
,
,
,
點
是
上的點，且
．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求
的值，使
平面
；
（Ⅲ）當
時，求三棱錐
與四棱錐的體積之比．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年浙江省高三上學期摸底理科數學 題型：解答題
（（本小題滿分14分）如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側棱
底面，
，
、
分別是棱
、
的中點.
（1）求證:
； （2） 求直線
與平面
所成的角的正切值
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科目：高中數學 來源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數學試卷 題型：填空題
（本小題滿分12 分）
如圖，四棱錐
的底面是邊長為
的菱形，
，
平面
，
，
為
的中點，O為底面對角線的交點；
（1）求證：平面
平面；
（2）求二面角
的正切值。
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