Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足 ．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅲ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足，因此所求.
（Ⅱ）由，，可得遞推公式，所以，，， ，，將上列各式兩邊累加可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可求得（疊加消項(xiàng)法在求數(shù)列的通項(xiàng)、前項(xiàng)和中常常用到，其特點(diǎn)是根據(jù)等式兩邊結(jié)構(gòu)特征，一邊相加可消掉中間項(xiàng)，另一邊相加可以得到某一特殊數(shù)列或是常數(shù)）.
（Ⅲ）由題意得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以所求，，
將兩式相減得，
從而可求得（錯(cuò)位相減法是求數(shù)列前項(xiàng)和的常用方法，它適用于如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)各項(xiàng)之積構(gòu)成的）.
試題解析：（Ⅰ）∵,
∴．              2分
∴．          3分
當(dāng)時(shí)，，
∴                    4分
（Ⅱ）∵
∴，
，
，
，
以上各式相加得
．
∵ ，
∴．                     9分
（Ⅲ）由題意得
∴，
∴，
∴

=，
∴．                   13分
考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和.