Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，且(n+1)a_n，(n+2)a_n+1，n成等差數(shù)列.

（1）設(shè)b_n=(n+1)a_n-n+2，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；

（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；

（3）若a_n-b_n≤kn對一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

(1)證明:(n+2)a_n+1=(n+1)a_n+, ∵b₁=2a₁-1+2=-1,

====,

∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列.

(2)解:由(1)得b_n=-()^n-1,即(n+1)a_n-n+2=-()^n-1.∴a_n=()^n-1+.

(3)解:∵a_n-b_n=()^n-1+,∴a_n-b_n≤kn,即k≥()^n-1+.

設(shè)c_n=()^n-1,d_n=,e_n=()^n-1+,

則c_n隨著n的增大而減小.

∵d_n+1-d_n==,

∴n≥5時,d_n+1-d_n＜0,d_n+1＜d_n,d_n隨著n的增大而減小,

則n≥5時,e_n隨著n的增大而減小.

∴e₁=0,e₂=,e₃=,e₄=,e₅=.則e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…….∴e₂=最大.

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍k≥.