Question

（2012•廣州一模）等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，2a₄，a₃，4a₅成等差數(shù)列，且a3=2a22．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

2n+5	(2n+1)(2n+3)

an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，然后將條件都轉(zhuǎn)化成首項(xiàng)和公比，解方程可求出首項(xiàng)和公比，從而可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)求和可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：（本小題滿分14分）
（1）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意，有

a3= 2a4+4a5 2 a3=2a22.

即

a3=a4+2a5 a3=2a22.

…（2分）
所以

a1q2=a1q3+2a1q4 a1q2=2a12q2.

…（3分）
由于a₁≠0，q≠0，解之得

a1= 1 2 q= 1 2

或

a1= 1 2 q=-1

…（5分）
又a₁＞0，q＞0，所以a1=

1

2

，q=

1

2

，…（6分）
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(

1

2

)n（n∈N^*）．…（7分）
（2）解：由（1），得bn=

2n+5

(2n+1)(2n+3)

•an=

2n+5

(2n+1)(2n+3)

•

1

2n

．…（8分）
所以bn=(

2

2n+1

-

1

2n+3

)•

1

2n

=

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

．…（10分）
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=(

1

3

-

1

5•2

)+(

1

5•2

-

1

7•22

)+…+[

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

]=

1

3

-

1

(2n+3)2n

．
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=

1

3

-

1

(2n+3)2n

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)、裂項(xiàng)求和等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)，屬于中檔題．