Question

偶函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的圖象過點(diǎn)P（0，1），且在x=1處的切線方程為y=x-2，則y=f（x）的解析式為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）求出e，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立一等量關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上建立一等式關(guān)系，解方程組即可．

解答：解：f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則e=1，
∵偶函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e，
故f（-x）=f（x）恒成立，
則b=d=0
即f（x）=ax⁴+cx²+e
f'（x）=4ax³+2cx，k=f'（1）=4a+2c=1（4分）
切點(diǎn)為（1，-1），則f（x）=ax⁴+cx²+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-1），
得a+c+1=-1，得a=

5

2

，c=-

9

2

f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1
故答案為：f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用，注意導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式的正確運(yùn)用與導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于基礎(chǔ)題．