Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD=4AP，∠BAD=∠PAD=60°，E，F分別是AP，AD的中點．
（1）求證：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求二面角P-BE-F的正切值．

Answer 1

分析 （1）通過∠BAD=60°與點F是AD的中點可知BF⊥AD，進而利用面面垂直的判定定理即得結論；
（2）通過（1）建系如圖，設AP=1可知AD=AB=4，進而可求出B、E、P三點坐標，通過求出平面BEF、平面PBE的法向量，利用法向量所成夾角與二面角的關系，計算即得結論．

解答 （1）證明：∵∠BAD=60°，點F是AD的中點，
∴BF⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴BF⊥平面PAD，
∴平面BEF⊥平面PAD；
（2）解：由（1）建系如圖，設AP=1，則AD=AB=4，
∵F是AD的中點，即AF=2，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，即B（0，$2\sqrt{3}$，0），
∵AP=$\frac{1}{2}$AF，且∠PAD=60°，
∴∠APF=90°，
過點P在xoz平面內作PQ⊥x軸，交點為Q，
則PQ=PAsin∠PAD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AQ=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$，QF=AF-AQ=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又∵E為AP的中點，A（2，0，0），
∴E（$\frac{7}{4}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
設平面PBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（\frac{7}{4}，-2\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{4}）=0}\\{（x，y，z）•（\frac{3}{2}，-2\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}）=0}\end{array}\right.$，
化簡得：$x=\sqrt{3}z$，
取z=1，則$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
設平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（\frac{7}{4}，0，\frac{\sqrt{3}}{4}）=0}\\{（x，y，z）•（0，2\sqrt{3}，0）=0}\end{array}\right.$，
化簡得：$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{7x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{3}{7}$，0，$\sqrt{3}$），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{3\sqrt{3}}{7}+0+\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+1}•\sqrt{\frac{9}{49}+0+3}}$=$\frac{2\sqrt{65}}{65}$，
記二面角P-BE-F的大小為α，則cosα=$\frac{2\sqrt{65}}{65}$，
又∵sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{4}{65}}$=$\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{65}}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{2\sqrt{65}}{65}$•$\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{61}}$=$\frac{2\sqrt{61}}{61}$，
即二面角P-BE-F的正切值為$\frac{2\sqrt{61}}{61}$．

點評 本題考查空間中的位置關系及二面角的計算，考查數形結合能力，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．