Question

設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，且bcosC=a-．
（1）求角B的大��；
（2）若b=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形的內角和為π得到A=π-（B+C），利用誘導公式得到sinA與sin（B+C）相等，再由正弦定理化簡得到一個關系式，把已知的等式變形后代入這個關系式中，即可求出cosB的值，然后由B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由b的值，以及（1）求出的B的度數求出sinB的值，利用正弦定理表示出a與c，進而表示出三角形周長l的式子，利用誘導公式把sinC化為sin（A+B），再把B的度數代入，利用兩角和的正弦函數公式化簡，合并后將利用乘法分配律乘進括號中，變形后利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據A的范圍求出這個角的范圍，進而得到正弦函數的值域，即可得到三角形周長l的范圍．
解答：解：（1）在△ABC中，有sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
由正弦定理得：a=bcosC+ccosB，
又bcosC=a-c，代入得：，即cosB=，
又B為△ABC的內角，∴B=；
（2）由b=1，sinB=，
根據正弦定理得：a==sinA，c==sinC，
∴l(xiāng)=a+b+c=1+（sinA+sinC）=1+[sinA+sin（A+B）]
=1+[sinA+sin（A+）]
=1+（sinA+sinA+cosA）
=1+2（sinA+cosA）
=1+2sin（A+）（12分）
∵B=，∴A∈（0，），
∴A+∈（，），
∴
于是l=1+2sin（A+）∈（2，3]，
故△ABC的周長l的取值范圍為（2，3]．
點評：此題綜合考查了正弦定理，以及三角函數的恒等變形．熟練掌握定理、法則及公式是解本題的關鍵，同時學生做題時注意角度的范圍，掌握正弦函數的值域的求法，牢記特殊角的三角函數值．