Question

1．如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分線于F設(shè)BE=x，記f（x）=$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{CF}$，則函數(shù)f（x）的值域是（0，4]，當(dāng)△ECF面積最大時(shí)，|$\overrightarrow{EF}$|=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 可過(guò)F作BC的垂線FG，垂足為G，根據(jù)條件便知△ABE∽△EGF，可設(shè)FG=y，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例相等便可得出y=x，從而根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式即可得出f（x）=-（x-2）²+4，從而求該二次函數(shù)在（0，4）上的值域即可．根據(jù)三角形的面積公式${S}_{△ECF}=\frac{1}{2}（4-x）x$，由基本不等式即可得出x=2時(shí)，△ECF面積最大，從而由EF²=EG²+FG²即可得出$|\overrightarrow{EF}|$．

解答 解：如圖，作FG⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于G，根據(jù)題意△ABE∽△EGF，設(shè)FG=y，則：
$\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{GF}$；
即$\frac{4}{4-x+y}=\frac{x}{y}$；
∴（4-x+y）x=4y；
∴（4-x）x=（4-x）y；
∵4-x≠0；
∴x=y；
即y=x；
∴$\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{CF}=|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{CF}|cos45°$=$（4-x）•\sqrt{2}x•\frac{\sqrt{2}}{2}=（4-x）x$=-x²+4x=-（x-2）²+4；
∴f（x）=-（x-2）²+4，0＜x＜4；
f（2）=4，f（0）=f（4）=0；
∴0＜f（x）≤4；
∴f（x）的值域?yàn)椋?，4]；
${S}_{△ECF}=\frac{1}{2}（4-x）x≤\frac{1}{2}（\frac{4-x+x}{2}）^{2}=2$，當(dāng)4-x=x，即x=2時(shí)取“=”；
∴$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$．
故答案為：（0，4]，2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查相似三角形的判斷，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比例關(guān)系，二次函數(shù)值域求法，根據(jù)基本不等式求函數(shù)最值，直角三角形的邊的關(guān)系，向量數(shù)量積的計(jì)算公式．