Question

（三級達標(biāo)校與非達標(biāo)校做）
已知函數(shù)f（x）=2x+

1

2x

（x∈R）
（Ⅰ） 判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）求證f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[-1，0]上單調(diào)遞減．

Answer 1

（I）證明：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，證明如下
∵f（-x）=2-x+

1

2-x

=2x+

1

2x

=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)
（II）設(shè)0≤x₁＜x₂≤1
則f（x₁）-f（x₂）=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=（2x1-2x2）+

2x2-2x1

2x1•2x2

=（2x1-2x2）（1-

1

2x1•2x2

）
∵0≤x₁＜x₂≤1
∴2x1-2x2＜0，
∵2x1•2x2= 2x1+ x2＞1
∴1-

1

2x1+x2

＞0
即（2x1-2x2）（1-

1

2x1•2x2

）＜0
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反可知函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減．