Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{{2{a^2}}}{x}$（a≠0），g（x）=3-x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求證：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有F（x）≥0．
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線(xiàn)方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證明結(jié)論；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵a=1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$（a≠0），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=2，f′（1）=-1，
故切線(xiàn)方程是：y-2=-（x-1），
整理得：x+y-3=0；
（2）由（1）知，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，
F（x）=f（x）-g（x），則f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$+x-3，
∴F′（x）=$\frac{（x-1）（x+2）}{{x}^{2}}$，x＞0，
當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	↓	極小值	↑

∴x=1是F（x）在（0，+∞）上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，
從而也是F（x）的最小值點(diǎn)，
∴F（x）≥F（1）=ln1+2+1-3=0，
∴F（x）≥0．
（3）f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a＜0時(shí)，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜2a，則a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（0，2a）上單調(diào)遞減；
若x＞2a，則a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)在（2a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2a）上單調(diào)遞減，在（2a，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．