Question

13．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1，$∠ADC=\frac{π}{3}$，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=1，點M在線段EF上．
（1）當$\frac{FM}{EM}$為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論；
（2）求三棱錐E-BDF的體積V_E-BDF．

Answer 1

分析 （1）當$\frac{FM}{EM}=\frac{1}{2}$時，設(shè)AC∩BD=O，連接FO，推導(dǎo)出AB∥DC，ACFE是矩形，從而四邊形AOFM是平行四邊形，由此推導(dǎo)出AM∥平面BDF．
（2）連接OE，過點B作BG⊥AC于點G，三棱錐E-BDF的體積V_E-BDF=V_B-OEF+V_D-OEF．

解答 解：（1）當$\frac{FM}{EM}=\frac{1}{2}$時，AM∥平面BDF．
證明如下：
在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD=O，連接FO，
因為AD=BC=1，∠ADC=60°，
所以DC=2，又AB=1，AB∥DC
因此CO：AO=2：1，
所以$\frac{FM}{EM}=\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，因為ACFE是矩形，
所以四邊形AOFM是平行四邊形，
所以AM∥OF，
又OF?平面BDF，AM?平面BDF，
所以AM∥平面BDF；
（2）連接OE，過點B作BG⊥AC于點G，
因為平面ACFE⊥平面ABCD，且交線為AC，
所以BG⊥平面ACFE，即BG為點B到平面ACFE的距離，
因為AB=BC=1，∠ABC=120°，所以$BG=\frac{1}{2}$
又因為DA⊥AC，平面ACFE⊥平面ABCD，所以DA⊥平面ACFE，
即DA為點D到平面ACFE的距離，
故三棱錐E-BDF的體積${V_{E-BDF}}={V_{B-OEF}}+{V_{D-OEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×（1+\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題考查線面平行時兩線段比值的判斷與求出，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．