Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=2an-2 (n∈N*)，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=an•sin2

nπ

2

-bn•cos2

nπ

2

 (n∈N*)，求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可以有an=

S1      n=1 Sn-Sn-1， n＞1

確定、{b_n}的通項(xiàng)公式，可以根據(jù)等差數(shù)列的定義求出；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}要分情況討論．然后分組求和．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1，a₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)a₁=2，∴an=2n
由b_n+1=b_n+2，得{b_n}是等差數(shù)列，公差為2
又首項(xiàng)b₁=1，∴b_n=2n-1
（Ⅱ）∵cn=an•sin

2nπ

2

-bn•cos

2nπ

2

=2n•sin2

nπ

2

-(2n-1)cos2

nπ

2

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)sin2

nπ

2

=1，cos2

nπ

2

=0，cn=2n
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)sin2

nπ

2

=0，cos2

nπ

2

=1，c_n=-（2n-1）
∴cn=

2n -(2n-1)

n為奇數(shù) n為偶數(shù)

Tn=2+23+…+22n-1-[3+7+…+(4n-1)]=

22n+1-2

3

-2n2-n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了公式a_n=S_n-S_n-1，等差數(shù)列的定義，分組求和的方法，以及分情況討論的思想．