Question

已知函數(shù)y=f（x）在R上是奇函數(shù)，而且在[0，+∞）上是增函數(shù)
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)．
（2）如果f(

1

2

)=1，解不等式f（2x+1）＞-1．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即可證明函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)．
（2）根據(jù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式f（2x+1）＞-1進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則f（-x₁）＞f（-x₂），
解f（x）是奇函數(shù)，
∴-f（x₁）＞-f（x₂），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．
（2）∵f(

1

2

)=1，
∴f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=-1，
則不等式f（2x+1）＞-1等價(jià)為f（2x+1）＞f（-

1

2

），
∵奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
則2x+1＞-

1

2

，
則x＞-

3

2

，
即不等式的解集為{x|x＞-

3

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．