Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I） 證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

n(an+1)

2

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）證明：

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，由此能證明數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而能求出an=2n-1．
（Ⅱ）由b_n=

n(an+1)

2

=

n•2n

2

=n•2^n-1，利用錯位相減法能求出S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（Ⅲ）由

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，

ak

ak+1

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

•

1

2k

，利用放縮法能證明

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

解答： （Ⅰ）證明：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an+1=2n，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）解：∵b_n=

n(an+1)

2

=

n•2n

2

=n•2^n-1，
∴S_n=1•2⁰+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（Ⅲ）證明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，3，…，n
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

，
∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

•

1

2k

，k=1，2，3，…，n
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)＞

n

2

-

1

3

，
∴

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查不等式的證明，解題時要注意構(gòu)造法、放縮法、錯位相減法的合理運用．