Question

設是各項均不為零的（）項等差數(shù)列，且公差.

（1）若,且該數(shù)列前項和最大，求的值；

（2）若,且將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，求的值；

（3）若該數(shù)列中有一項是，則數(shù)列中是否存在不同三項（按原來的順序）為等比數(shù)列？請說明理由.

 

Answer 1

（1）取最大時的值為30或31；（2）的值為或10

【解析】

試題分析：（1）由等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)性質(zhì)求解

（2）分類討論思想，依次分刪去第一項、第二項、第三項、第四項后成等比數(shù)列求解；

（3）考慮反證法

試題解析：（1）解法一：由已知得

∴

∵∴取最大時的值為30或31.

解法二：由已知得∴.

若取最大，則只需即解得.

∵∴當取最大時的值分別是30或31.

（2）當時，該數(shù)列的前4項可設為10、、、.

若刪去第一項10，則由題意得，解得，不符合題意.

若刪去第二項，則由題意得解得，符合題意.

若刪去第三項，則由題意得解得，符合題意.

若刪去第四項，則由題意得解得，不符合題意.

綜上所述，的值為或10.

（3）設

設該數(shù)列存在不同的三項成等比數(shù)列，則

，化簡得

又

將代入得這與題設矛盾

故該數(shù)列不存在不同三項（按原來的順序）為等比數(shù)列.

考點：等差數(shù)列的定義及性質(zhì)，等比數(shù)列的定義及性質(zhì)